勾股定理論文(勾股定理論文600字初二)

好久不見了，今天我想和大家探討一下關于“勾股定理論文”的話題。如果你對這個領域還不太了解，那么這篇文章就是為你準備的，讓我們一看看吧。

文章目錄列表:

急求 勾股定理的證明方法 5種

勾股定理的證明：在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。

首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。

1．中國方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是

a^2+b^2=c^2。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2．希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。

容易看出，

△ABA’ ≌△AA'C 。

過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半，△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積。

于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

即 a2+b2=c2。

至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。

這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等；

⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

我國歷代數學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補法：

如圖，將圖中的四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上**，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。

趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。

西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。

如圖，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比較以上二式，便得

a2+b2=c2。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。

在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我們發現，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，這就是

a2+b2=c2。

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。

在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，

因為∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。

人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

如此等等。

另：八年級數學勾股定理的證明（介紹16種證明的方法）(數學教案)

=a2

兩邊相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。

有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是一個著名的測量員。T?杰弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年后當選為美國總統）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發表于《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。

關于這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。

證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等于兩個小正方形面積之和即可。

過C引CM‖BD，交AB于L，連接BC，CE。因為

AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

所以 △ACE≌△AGB

SAEML=SACFG (1)

同法可證

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)得

SABDE=SACFG+SBKHC，

即 c2=a2+b2

證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有一個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以 a2+b2=c2

證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。

在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF于H，則DHCK是邊長為a的正方形。設

五邊形ACKDE的面積=S

一方面，

S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積

=c2+ab (1)

另一方面，

S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積

+2倍△ABC面積

=b2+a2+ab. (2)

由(1)，(2)得

c2=a2+b2

證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成一個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，則EKGH必為邊長等于a的正方形。

設五邊形EKJBD的面積為S。一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

另一方面，

S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

由(1)，(2)

得出論證

都是用面積來進行驗證：一個大的面積等于幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見/21010000/vcm/0720ggdl.doc

勾股定理是數學上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬于古希臘數學家歐幾里得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》里。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。 以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”：/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的數學家大多繼承了這一風格并且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的“青朱出入圖”：/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

勾股定理應用非常廣泛。我國戰國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。

勾股定理在我們生活中有很大范圍的運用.

勾股定理的16種驗證方法（帶圖）：/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc

練習題：一個等腰三角形,三個內角的比為1:1:10,腰長為10cm,則這個三角形的面積為____

解：由題意得此三角形各角角度為15度 15的150度

設底邊上的高為h 底邊長為2t

易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10

解得h=5(√6-√2)/2

又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t

解得t=5(√6+√2)

故面積s=th=50</CN> `

[編輯本段]勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用．正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱．

我國是發現和研究勾股定理最古老的國家．我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理．在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”．在公元前7~6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日．

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”．還有的國家稱勾股定理為“平方定理”．

在陳子后一二百年，希臘的著明數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理．為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．

數學小論文數怎么不夠用了

數怎么又不夠用了

同學們,我們上了好多年的學,學過不計其數的數,概括起來我們都學過哪些數呢?

（在小學我們學過自然數、小數、分數.在初一我們還學過負數.）

對，我們在小學學了非負數，在初一發現數不夠用了，引入了負數，即把從小學學過的正數、零擴充到有理數范圍，有理數包括整數和分數，那么有理數范圍是否就能滿足我們實際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個問題.

請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和剪刀，認真討論之后，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

經過大家的共同努力，每個小組都完成了任務，請同學們把自己拼的圖展示一下.

同學們非常踴躍地呈現自己的作品給老師.

現在我們一齊把大家的做法總結一下：

下面再請大家共同思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為a，則a應滿足什么條件呢？

（1.a是正方形的邊長，所以a肯定是正數.2.因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據正方形面積公式可知a2=2. 3.由a2=2可判斷a應是1點幾.）

大家說得都有道理，前面我們已經總結了有理數包括整數和分數，那么a是整數嗎？a是分數嗎？請大家分組討論后回答.

(我們組的結論是：因為12=1，22=4，32=9，…整數的平方越來越大，所以a應在1和2之間，故a不可能是整數.

，…兩個相同因數的乘積都為分數，所以a不可能是分數.)

經過大家的討論可知，在等式a2=2中，a既不是整數，也不是分數，所以a不是有理數，但在現實生活中確實存在像a這樣的數，由此看來，數又不夠用了.

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設該正方形的邊長為b，則b應滿足什么條件？

(3)b是有理數嗎？

請大家先回憶一下勾股定理的內容.

(在直角三角形中，若兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，則有a2+b2=c2.)

在這個題中，兩條直角邊分別為1和2，斜邊為b，根據勾股定理得b2=12+22，即b2=5，則b是有理數嗎？請舉手回答.

(因為22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整數;沒有兩個相同的分數相乘得5，故b不可能是分數;因為沒有一個整數或分數的平方為5，所以5不是有理數)

大家分析得很準確，像上面討論的數a，b都不是有理數，而是另一類數——無理數.

（可以給學生講述無理數的發現的典故，見書上30頁）

三.練習

1.為了加固一個高2米、寬1米的大門，需要在對角線位置加固一條木板，設木板長為a米，則由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大約是多少？這個值可能是分數嗎？

好了，關于“勾股定理論文”的話題就講到這里了。希望大家能夠通過我的講解對“勾股定理論文”有更全面、深入的了解，并且能夠在今后的工作中更好地運用所學知識。

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