數學小論文范文(三年級數學小論文范文)

2024-11-13 22:37分類：畢業論文閱讀：

數學小論文范文(三年級數學小論文范文)

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文章目錄列表:

1.大學數學專業論文范文3000字
2.數學微積分論文范文
3.數學教學論文范文精選
4.大學數學論文范文
5.康托爾的集合論相關論文范文
6.勾股定理小論文范文

數學小論文范文(三年級數學小論文范文)(圖1)

大學數學專業論文范文3000字

　數學這門古老而又充滿生命力同時兼顧理論性和應用性的課程，被譽為?思維的體操 ?，其中無論是理論(純數學)還是實踐(應用數學)，都包含豐富的知識和思維的技巧。下文是我為大家搜集整理的關于數學論文的內容，歡迎大家閱讀參考!

數學論文范文篇1

　淺析小學數學學習特點對教學的影響

　小學數學是知識學習的起始點，與人類的學習比起來，小學數學的學習更有具體性。小學生對數量關系和空間形式知識的學習，具有抽象性，需要學生認真思考。要從學生的實際情況出發，分析學生在學習小學數學前在知識、能力、情感態度價值觀等方面所達到的水平，使教師根據小學數學學習特點策劃教學方案，為教學提供理論依據。本文從學習內容、學習過程以及學習方式三點來論述小學數學學習特點對教學的影響。

　一、學習內容的抽象性與形象性

　1.抽象性和形象性的特點

　教材編寫人員將富有抽象的數學知識轉變為兒童易理解的形象化數學知識，通過轉化，它不但沒有失去數學學科的抽象性、邏輯性和嚴密性，而且更加形象生動。大大提高了學生的學習興趣。教材通過豐富多樣的和故事，把數學知識以多種方式呈現在學生面前。使學生想學愛學。雖然小學數學學習內容很抽象，但經過多種方式的呈現，使知識更形象生動。這種方法解決了數學知識特點與小學生思維之間的矛盾問題。

　2.抽象性和形象性特點對小學數學教學的影響

　教師在講解小學數學時要使形象性與抽象性相結合，通過各種教學方式把抽象的數學知識形象化。因此教師需恰當地解決具體與抽象之間的聯系，即要解決以下四個問題：第一，怎樣將學習內容的形象性與數學的本質結合起來;第二怎樣進行抽象概括;第三，怎樣對數學知識的理解深入到學生心中;第四，使學生學會用自己的語言來描述數學問題。

　二、學習過程的漸進性和系統性

　1.漸進性和系統性的特點

　教學模式開發和應用的過程，是一個隨著教育理論和教學實踐不斷發展的過程。它具有漸進性和系統性。這兩種特性遵循了小學生的發展規律，對知識的學習是一個循環漸進的過程。在教學中要充分考慮學生的年齡特點和小學數學學習的特點，在具體活動中引導學生多動手、動腦和動口，調動各種感官參與活動，提高學習效率。漸進性和系統性是學生學習過程中的特點，它主要表現在，數學知識的邏輯性和系統性，數學知識具有擴展性，每個知識點要相互滲透，形成全面系統的知識。學會舉一反三。對小學數學循序漸進學習。

　2.漸進性和系統性特點對小學數學學習的影響

　根據小學數學漸進性和系統性的特點，合理地選擇教學方式。在教學過程中遵循學生發展的規律。將小學數學學習的漸進性和系統性恰當的結合起來，從而制定有效的教學方案，使得小學數學的教學有計劃、高效的開展。適應這個特點需要滿足以下兩個方面：第一個方面，按照教科書為學生制定的數學學習順序進行學習;第二個方面，在學習原理的基礎上，使小學數學學習過程具有系統性。

　三、學習方式的接受性和探索性

　1.接受性和探索性在小學數學學習活動中的體現

　小學數學的學習方式分為接受學習和發現學習兩種。無論是哪種學習方式，都是學生將已存在的數學知識轉化為自己知識的過程，來提高數學水平。轉化知識的過程既是學生自己發現探索的過程，也是接受原有知識的過程。通過學生對數學學習方式的探索，小學數學的學習是在接受性和探索性及兩者統一的基礎上表現出來的。而對數學知識的再發現決定了小學數學學習的探索性，對數學知識的傳遞決定了其學習的接受性。接受性和探索性是小學數學學習的必要條件。

　在教學過程中，教師要正確地認識和承認學生的差異，通過獨立思考和小組合作交流，使學生能在不同的基礎上得到發展，并能從教師對每一種方法的肯定中獲得成功的喜悅。可以讓學生選擇自己喜歡的計算方法與同學交流，增加本節課學習的興趣，提高教學效率。

　2.接受性和探索性特點對小學數學教學的影響

　接受性和探索性特點是通過教與學的方式對小學數學教學產生影響。教師要以學生為主體，在小學數學的教學過程中起引導作用，教師要采用多種教學方式引導學生思考，且根據學生接受的程度和講授的數學知識恰當地選擇教授方法，這樣學生既能運用多種方法學習數學，又能掌握知識，小學數學教學過程的進步需要靠多樣的學習方式和先進的教學方法來完成，使學生能夠在玩中學，提高學習興趣，達到教學目的。在教學過程中需要關注以下三點：第一，以多種多樣的學習方式指導學生;第二，在教學過程中，要注重培養學生自己探索發現數學問題及解決數學問題的能力;第三，根據小學數學的學習特點采用多種教學方式提高學生學習的主動性和積極性。

　四、結語

　小學數學教學過程中必須要關注小學生學習數學的特點，根據其特點采用多種教學方法進行教學。教學內容應生動形象而不缺抽象，教授過程中要把系統性與漸進性相結合，接受性與探索性相結合，遵循小學數學學習的特點，循環漸進地掌握知識，達到期望的教學目標。小學數學學習的特點對教學既有指導性，也有探索性，只要充分理解其特點，才能使小學數學的教學向著有利于學生接受的方向迅速前進，從而提高教學效率，達到教學目標。

數學論文范文篇2

　淺析新課改下高中數學導數教學的發展

　最近幾年來，伴隨著我國市場經濟的飛速發展，社會也在不斷的發生著變化，同期我國的科學技術水平也邁上了一個新的臺階。為了能夠更好的發展，同期也需要我們的自然學科進行相應的發展，這樣可以更好的適應社會發展的需要。眾所周知，數學學科是高中素質教育中不可或缺的重要組成部分之一，自從我國教育體制開始形成之時，數學科目就開始存在，所以說數學在素質教育中占據的地位非常重要，而導數作為幫助學生解決函數、數列等難點的工具，同時又能緊密聯系其他學科，更是有著十分重要的地位。在實行新課改后，微積分作為教學內容而列入高中數學教材，這對學生的導數知識掌握能力提出了更高的要求。因此本文對新課改實施背景下，如何通過教學方法的改進來提高學生導數掌握能力進行研究。

　一.現階段高中數學導數教學的現狀

　(1)教學模式單一，對學生學習方法引導不夠

　在文理分科的背景下，導數在高中數學學科中是作為一門選修課程來學的，這造成了文科學生由于對導數的應用了解不深而不能很好地掌握，利用導數求解函數參數問題也就無從談起。同時由于實行新課改后，數學學科的課時被壓縮，很多教師為了在短時間內完成大綱規定的內容，在教學過程中一般來說都是采取的教師講授或者板書，毫無疑問，在整個教學的過程中學生都是被動聽課的方式進行教學的，這種教學方式在一定程度上大大壓制了學生思維的活躍性和課堂參與的積極性。這就造成了學生由于導數內容太難而失去學習激情，這更加不利于導數知識的掌握，不利于教學活動的開展。

　(2)應試教育觀念導致的教學僵化

　一直以來，我國的應試教育體制在教育體系中的地位都比較穩固，甚至到現在為止還沒有得到完全的消除。即使實行了新課改，很多教師由于教學觀念沒有轉換過來，在教學過程中過于重視考試題型的講解和練習，而忽視了幫助學生對數學思想和內涵進行正確認識，這導致了學生在導數學習中純粹以考試為目的，機械式地背誦公式，無法將所學導數知識運用于生活和其他學科的內容學習中，這與新課改提倡的素質教育理念是不相符的。導數教學的難點在于學生對于導數的認識不足，難以理解導數概念，這需要老師利用物理學科或者生活中的場景進行深入了解，而不是用純粹的理論化的數學概念來對學生進行?填鴨教育?。

　二、新課改下提高數學導數教學質量的措施

　(1)幫助不同的學生制定不同的學習計劃

　總的來說，學習方法是學生進行有效學習的基礎，而且在一定程度上對學生的學習起著舉足輕重的作用。正確的學習方法是學生有效掌握所學知識的保證，這就要求數學教師在課堂教學中除了對學生進行課堂內容講解外，還需要通過一定的測試和溝通來了解學生的導數內容掌握情況，對于掌握不足的學生應該幫助制定相應的學習計劃，測試的目的不是為了成績，而是為了掌握學生的學習情況，同時針對學生的學習情況對教學計劃進行適當的調整，如果后續的學習計劃制定沒有跟上，那么測試也就失去了意義。

　(2)借助案例幫助學生加深對導數的理解

　導數由于其對于高中學生來說過強的理論性，造成了學生對于導數的理解和應用往往掌握不夠，這種情況下純粹的理論教學只會造成學生進一步的不理解，這十分不利于學生的學習效率和老師的課堂效率，所以在導數的課堂教學中，老師要注意借助導數應用案例來激發學生的學習熱情，比如物理運動的速度變化問題、加速度變化問題等，這樣不僅能夠幫助學生更好地理解導數內涵，而且能夠使學生在加強對其他學科知識的理解的同時主動思考導數知識在生活中的應用，大大提高了教學質量和效率。

　(3)加強導數技巧性和應用訓練

　在平時的教學中應該多鼓勵學生應用導數內容求解函數等相關問題，這樣可以進一步提高學生對導數的理解程度和應用水平。同時老師也可以針對導數的應用多出一些技巧性的題目對學生進行訓練，比如利用導數知識來畫出二階、三階函數的圖像等，學生要做出這種題目就需要一定的技巧，隨著解答的技巧性題目數量的增多，學生對于導數的應用也就更熟練。同時在導數的初學階段，由于學生對于導數理解不夠，老師可以出一些含有生活案例的題目讓學生來解答，比如將學生騎車時速度變化的問題加入到導數題目中，這樣可以促使學生主動思考導數知識，加深對導數的理解，為以后的導數深入學習打下基礎。

　三、結語

　綜上所述，我們可以知道，高中數學的導數教學具有其一定的獨特性，究其原因是因為在一定程度上不但具有數學學科嚴密的邏輯性，而且同時還具有初中數學不具備的抽象性，所以在教學中需要教師根據高中數學的特點進行相應的教學。高中導數的有效教學不但需要教師采用積極引導的教學，同時還需要學生培養出數學思維進行學習，只有通過教師和學生共同努力，這樣才能在新課改的情況下，讓高中數學導數教學得到穩定可持續的發展。

數學論文范文篇3

　淺談初中生數學問題意識的培養

　一、初中生問題意識培養的意義

　問題意識即在學科學習過程中能夠主動思考、認真探究，從而針對某個方面提出問題的思想準備。在數學課堂上，學生常常不敢或不愿回答課堂提問，不能或不善提出問題，能夠經常積極回答問題的只有少數學生，能夠在課堂中提出問題的學生更是少之又少。學生缺少問題意識，不能提出問題，不利于學生思維的發展，不利于學習能力的進一步提升。朱永新關于新課程的核心理念之一：教給學生一生有用的東西。而學生自主學習、勤學好問的習慣一定是學生一輩子受益的。心理學研究表明，意識到問題的存在是思維的起點，學生沒有問題本身就是大問題.被稱為現代科學之父的愛因斯坦曾指出：?提出一個問題往往比解決一個問題更重要。?初中生數學問題意識的培養，是學習習慣和學習能力培養的重要方面，是新課程改革的需要。

　二、初中生問題意識培養策略

　如何培養學生問題意識呢?我們通過教學實踐進行了相關探索，并初步形成了一些策略。

　1、改變評價方式，鼓勵提問

　造成學生問題意識缺失的原因是多方面的。我們的評價導向不利于學生問題意識的培養是原因之一，多數時候我們對回答問題對、考試分數高大加贊賞，對于學習有困難的學生缺少鼓勵指導。大批循規蹈矩的學生，不敢也不會去質疑。學生學習中的問題本應該由學生主動提出，而實際教學中常常是學生被老師問。如何改變這一現狀?我們可以采用多種方式鼓勵學生提問。(1)注意運用表揚或激勵性語言，逐步使學生感受到課堂中能提出問題和敢于回答問題一樣都是值得肯定和鼓勵的。(2)把學生課堂提問是否積極作為對學生評價的一個重要方面。(3)有目的進行一些提問競賽等活動。

　2、夯實學習基礎，讓學生能問

　教學實踐中我們體會到學生能否提出問題與學生學習基礎有密切關系，學習基礎較好的學生更容易提出問題。因此，教師要注重夯實學習基礎、培養學生勤學好問的品質，讓學生堅實的學習基礎成為產生問題的土壤.

　3、營造輕松學習氛圍，使學生敢問

　數學課堂上學生沒有提出問題，并不是沒有問題，更多時候是因為緊張等原因導致有問題不敢提出。學生只有在寬松、和諧的氛圍中，思維潛力才會得到最大限度的開啟。為了消除學生在課堂上的緊張和害怕的情緒，教師需要盡可能營造輕松、和諧、民主的學習氛圍，可以先讓學生在學習小組內交流、質疑，再讓學生在全班內提出或解答問題。教師以微笑、平和、寬容、鼓勵的心態指導學生，與學生交流探討，幫助學生樹立自信，拉近師生情感距離，使學生做到想問就問。

　數學教學應教會學生會思考。讓學生經歷觀察、猜想、操作、實驗、合情推理的過程，不僅有利于培養學生的獨立性、能動性和創新精神，而且學生在輕松學習氛圍中能夠消除緊張因素，有問題時敢于提出。

　4、教師示范引領，誘導學生善問

　如果一個人沒有問題，就不會有新的發現，就不會有真正的成長。學生沒有問題意識就會學得被動低效，教師沒有問題意識就會阻礙專業成長。教師要讓學生有問題意識，就首先自己具有問題意識。教師強烈的問題意識能起到很好的示范作用，能促進學生的問題意識發展。

　案例2.三角形三邊關系教學

　(1)讓生拿出課前準備好的三根長度不一樣的塑料吸管。

　(2)把這三根吸管?首尾順次連結?你有何發現?這時學生發現有的能構成三角形，有的卻不能。

　(3)教師再繼續提出三個問題：①你的三根吸管的長度各是多少?②三根吸管的長度具有怎樣關系時能?首尾順次連結?組成三角形?③是否具有任何長度的三條線段都能?首尾順次連結?構成三角形?

　在上述探究過程中，正是教師不斷追問誘導，集中學生的思維，引發了學生的不斷質疑，思考層層深入，結果不斷涌現，驚喜不斷。長此以往，學生就會善于提問。

　5、利用現代媒體技術，促學生提問

　《義務教育課程標準(2011版)》(以下簡稱《標準》)指出：數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程的整合。把信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教和學的方式，使學生樂意投入到現實的、探索性的數學活動中。現代信息技術應用于數學教學能達到其他方式無法比擬的效果，有力于學生在?問題空間?自主探究。教師為學生設置環境，提供他們需要使用的工具與資源，促使學生提出問題并進行探索，激發學生解答問題，實現學生自己建構知識。

　現代信息技術為數學活動的開展提供了廣闊的天地，只要學生投入到運用媒體軟件做數學的活動過程中，必然發現或提出各種問題、引發自主探究。

　三、結語

　總之，真正的教育應該是以學生的發展為本，老師不僅關注如何教，更應該關心學生如何學.我們要求學生創造出能夠提出問題、敢于提出問題、善于提出問題的學習環境，從而培養學生的問題意識和創新精神.

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數學微積分論文范文

　微積分是高等數學的一部分知識，關于微積分的論文有哪些？接下來我為你整理了數學微積分論文的范文，一起來看看吧。

數學微積分論文范文篇一：初等微積分與中學數學

　摘要：初等微積分作為高等數學的一部分，屬于大學數學內容。在新課程背景下，幾進幾出中學課本。可見初等微積分進入中學是利是弊已見分曉，其重要性不言而喻。但對很多在崗教師而言，還很陌生，或是理解不透徹。這樣不利于這方面的教學。我將對初等微積分進入中學數學背景，作用及教學作簡單研究.

　關鍵詞：微積分;背景;作用;函數

　一、微積分進入高中課本的背景及必要性

　在數學發展史上，自從牛頓和萊布尼茨創建微積分以來，數學中的很多問題都得以解決。微積分已成為我們學習數學不可或缺的知識。其在經濟、物理等領域的大量運用也使之成為解決生活實際問題的重要工具。但牛頓和萊布尼茨創建的微積分為?說不清?的微積分，也就是連他們自己也說不清微積分的理論依據，只是會應用。這使得很多人學不懂微積分，更不用說讓中學生來學習微積分。

　柯西和維爾斯特拉斯等建立了嚴謹的極限理論，鞏固了微積分基礎，這是第二代微積分，但概念和推理繁瑣迂回，對高中生更是聽不明白。近十年來，在大量的數學家如：張景中，陳文立，林群等的不懈努力下，第三代微積分出現了相比前兩代說得清楚，對高中生而言，也更容易理解。這為其完全進入高中課本奠定了基礎。從內容來看，新一輪的課改數學教材在微積分部分增加了定積分的概念及應用(求曲邊梯形面積，旋轉體體積，以及在物理中的應用)，可能考慮到中學生的認知能力，人教版新教材與北師大版在這方面有所不同。即利用定積分求簡單旋轉體體積在北師大版教材中出現了，但人教版沒有。

　從課標和考試大綱(參考2011年高考考試大綱)上看，初等微積分所占比重也是越來越重。回顧歷屆高考，微積分相關題型分值越來越高。但就我個人觀點，初等微積分在中學數學中的作用還沒有真正全面發揮。我認為，它是學生中學數學和教師教學的一條線索，它是我們研究中學函數問題的統一方法，也是聯系中學與大學數學知識的紐帶!

　二、微積分在中學數學中的作用

　1.銜接性與后繼作用。微積分本是大學高等數學范疇，是大學開設的課程。讓現在中學生提前學習部分微積分知識，這便為其以后升入大學學習微積分打下良好的基礎，這也使數學知識從小學到大學從內容上銜接得更加緊密。也不會再出現很多大學生認為的大學數學知識在高中數學教學中沒有任何作用的觀點.

　2.解決數學相關知識的作用。高中數學函數在整個中學數學內容中，不論從高考所占比重還是自身難度來說都應該排在首位。對學生來說永遠是最難學的，得分率也相對比較低。很多學生討厭數學就是討厭函數，提到數學中的函數就頭暈。由于應試教育的關系，學生又不得不學習函數，而函數思想本身也是高中數學學習的一條線索。微積分的進入對學生學習函數問題找到了統一的方法。高中階段我們所研究的函數問題一般是以一些基本初等函數為媒介研究函數的定義，圖像和性質，當然也有應用。但隨著課改的深入，函數應用問題逐漸在淡化。而初等微積分知識即研究函數的重要工具，如：微積分可以求函數的單調性，最值。最重要的是它可以畫出函數的圖像，其實，當函數圖像畫好后，幾乎函數所有性質都可以解決。學生只要學好微積分便掌握了研究函數的統一方法，那么高中階段的二次函數，指數函數，對數函數，三角函數等所有初等函數的學習就可以統一，既節約了教學時間又學習了先進的數學思想。對提高學生的數學修養打下堅實的基礎。我相信還可以激發其學習數學的興趣。另外，在高中階段，初等微積分還可以解決不等式問題，求二次曲線的切線問題，求曲邊梯形的面積等很多數學問題。利用微積分不僅可以使問題簡化，并能使問題的研究更為深入、全面。

　3.提高數學在其他學科的應用能力。作為自然學科的數學本身已應用于社會經濟、技術等各個領域。而作為中學數學，它對中學其它學科的推動作用也是毋庸置疑的。如物理，化學，地理等學科也離不開數學。在高中階段往往會因為數學的教學進度而影響其它學科的進度。如地理中要學習地球的經度，緯度等知識就需要先學習數學中球體相關知識和解三角形相關知識。當微積分進入中學數學后，數學這個學科的作用就更加重要了。特別像物理中勻加速直線運動位移，瞬時速度，加速度等問題利用微積分的導數求解起來更加簡單，容易理解。新課程人教版數學教材選修2-2中專門加入了利用定積分求變速直線運動的路程一節。另外，微積分解決生活中的優化問題也進入中學課本。可見，微積分進入中學教材，對促進學科間知識的整合起到了至關重要的作用。

　三、國際上一些教材對微積分知識的處理

　以蘇聯中學為例，蘇聯中小學為十年制，從九年級(1)(相當于我國高中一年級)中講了數學歸納法和排列組合以后，就介紹無窮數列和極限。然后介紹函數極限和導數，所有這些都在講解三角函數，冪函數，指數、對數函數之前。隨即介紹導數在近似計算，幾何(求切線)和在物理中的應用(研究速度，加速度)以及導數在研究函數問題中得應用(求函數極值，最值，單調性等)。到九年級末及十年級(2)再講三角函數，利用導數可以研究三角函數的性質。然后介紹不定積分和定積分。接著在指數函數，對數函數和冪函數一章介紹指數函數的導函數，再利用反函數求得對數函數的導函數。在十年級(3)中利用微積分知識研究幾何問題，用積分推導錐體，球體等的體積公式。還把球的表面積定義為球的體積V(R)對R的導數，從而立即求得球的表面積公式。可見，蘇聯課本中及早分散引入導數及積分的概念和計算，而不是到最后整塊講解。這樣處理，可以使微積分知識結合研究函數問題，幾何問題以及研究物理問題中都得到應用。

　當然，還有比如臺灣中學教材對微積分處理和我過現行教材區別不大，就不再介紹。而上訴對微積分的處理情況是一種在歐洲中學教材中較普遍的處理方式。其優點主要就是充分發揮了微積分在中學數學教學中的作用。使中學數學知識更加連貫，更加易懂!

數學微積分論文范文篇二：微積分緒論課的教學探討

　摘要：微積分是高等院校管理類專業的重要數學基礎課，第一堂課是上好微積分的關鍵。通過三個方面就如何上好微積分緒論課做些探討。

　關鍵詞：微積分;起源;內容;方法

　微積分是門基礎課，這門課的學習直接影響到今后專業課的學習，而緒論課對這門課的學習有著引導的作用，在整門課中有特殊的地位和作用。緒論課應包含下面幾個部分的內容：

　一、微積分起源的介紹

　微積分包括兩方面的內容：微分與積分。微積分的創立源于處理17世紀的科學問題。先引入微積分學的創始人之一費馬研究的一個問題：假設一個小球正向地面落去，求下落后第5秒時小球的速度?若是勻速運動，則速度等于路程除以時間，然而這里的速度是非均勻的，那能不能把非均勻速度近似看成均勻速度?用什么方法?這就是微分學問題，再引入古希臘人研究的面積問題：計算拋物線y=x2與坐標軸x軸在0?x?1間所圍成的面積。能不能將面積切割成n個小面積，再將小面積用小矩形來代替，由n個小矩形的面積得到所求面積?這里所用的方法就是積分問題。很早以前就有人研究過微分與積分，而微積分的系統發展是在17世紀開始的，從此逐漸形成了一門系統完整且邏輯嚴密的學科。微積分通常認為是牛頓和萊布尼茨創立的。這一系統發展關鍵在于認識到微分和積分這兩個過程實際上是彼此互逆地聯系著。

　介紹提及的人物牛頓和萊布尼茨的相關軼事，例如創建微積分優先權的爭論。牛頓于1665～1687年把研究出的微積分相關結果告訴了他的朋友，并將短文《分析學》送給了巴羅，但期間沒有正式公開發表過微積分方面的工作。萊布尼茨于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦時，和一些知道牛頓工作的人通信。1684年萊布尼茨正式公開發表關于微積分的著作。于是有人懷疑萊布尼茨知道牛頓具體的工作內容，萊布尼茨被指責為剽竊者。在兩個人死了很久后，調查證明：牛頓很多工作是在萊布尼茨前做的，但是萊布尼茨是微積分思想的獨立發明者。

　二、介紹微積分內容及方法

　微積分學研究的對象是函數，極限是最主要的推理方法，它是微積分學的基礎。微積分內容有四類：一是已知物體移動的距離是時間的函數，怎樣由距離得到物體在任意時刻的速度和加速度;反過來，已知物體的加速度是時間的函數，怎樣求速度和距離。二是求曲線的切線。三是求函數的最大最小值問題。四是求曲線的長度、平面曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心。

　三、為什么要學習高等數學

　微積分在自然科學、經濟管理、工程技術、生命科學等方面都有應用，是各門學科強有力的數學工具。學好微積分，可以增加語言的嚴密性、精確性，可以從中鍛煉人的理性思維，并感受到美的藝術。例如黃金分割，無理數的■與?的表達式：

　微積分的緒論課是整個教學的第一課，緒論教學能使學生對這門課有個快速大致的認識與了解，好的緒論課可以引導學生主動、積極地學習。

數學微積分論文范文篇三：微積分教學的改與實踐

　前　言

　21世紀，科學、技術和社會都發生了巨大的變化。高等數學作為高等院校的基礎課程之一，在其他各個領域及學科中發揮出越來越大的作用。尤其是微積分教學，是目前數學教育的一大課題。

　一、我國微積分教學改革的現狀

　目前的數學實驗中，微積分教學改革的現狀中仍然存在一些主要問題。

　首先，優秀人才的培養重視不夠。在微積分教學中，重視的是教育大眾化的人才，而一些頂尖的、優秀的人才的培養卻重視不夠。

　其次，過度應試化。過度重視應試教育在微積分教學中越來越明顯，輕能力重考試已成為一種傾向。

　再次，學生差異大，素質下降。學生人數的激增帶來學生差異的強化，面對這一情況，如何規劃班級，如何區別對待學生是微積分教學面臨的問題。

　二、微積分課改的必要性

　隨著高等數學改革的不斷深入，微積分教學的改革成為其中的重要部分。微積分教學的改革并不是空穴來風，而是一種必然。

　(1)社會高度發展提出的要求

　微積分作為高等數學的一部分，對技術文明的推動有重要作用，許多數學細想和數學的建樹都離不開微積分。可以說，微積分在推進數學思想，推進社會進步，推進科學發展上有舉足輕重的作用，是不可或缺的，它是人類思維的偉大成果，不僅是高等數學。而且是其他行業，其他專業，在不同范圍和不同程度上對微積分的認識都是必要的。設想一下，如果取消對微積分的學習，那么技能的進步只是一句空談，社會不會發展，智慧不會被充分開掘。所以，微積分教學的改革是十分必要的。

　(2)科技的發展提出的需要

　當今世界，是一個科學技術突飛猛進的時代，軍事、貿易等激烈的競爭和市場經濟，如果沒有科技的推進，則會落后于他人。如何促進科學的發展呢?微積分起著重要的作用，它不僅為科學提供了精密的數學思想，也為科學的提供了理論支撐，它不但改變了數學面貌，還是其他學科的工具和方法，微積分在自然學科的各個方面都有運用。隨著科技發展的時代，提高微積分教學的質量是勢在必行的。

　(3)人類思維發展的需要

　微積分中蘊藏著很多重要思想，比如辯證的思想，常量與變量，孤立與發展，靜止變化，有限與無限等，還有?直?與?曲?，?局部?與?整體?的辯證關系，其實。哲學最處就是與數學密切相關的，所以，數學，尤其是微積分思想充滿了邏輯與辯證，微積分的學習。不僅是知識、理論的學習，更是一種思維的訓練。因此，微積分教學的完善有利于培養人類思維，使人類思維獲得一個飛躍，更有效地解決問題。

　三、微積分課改的內容

　根據新的教學大綱的修改，微積分教學重新設計了課程內容、教學理念、教學方法等，以學生為主體，更直觀形象，而且在教學方法上也進行了革新。全面促進了微積分教學的改革。

　1、課程基本理念的改革

　微積分教學的改革能否成功關鍵在于觀念的轉變，過去是偏重理論，現在則要注重應用激發初學者的學習興趣，盡早把握微積分的基礎知識，把抽象難懂的微積分理論轉變為學生容易接受、容易理解的微積分教學方式，比如說，極限是微積分知識中的難點，極限概念、運動、辯證思想等對于學生來說是十分抽象，不容易理解，從而沒有激發學生的學習興趣，課堂變得枯燥無味，理論嚴謹，邏輯性很強，學生上手難。微積分教學大綱的修訂也體現出教學理念的更新，新的微積分教學中，適當降低了難點知識。重視對微積分本質的認識，以直觀、實例來提高學生的微積分學習興趣和學習效率，使學生學習的主動性回歸到自身，體現以人為本的思想，重視學生的情感態度、生活價值的培養，根據學生自身的特點因材施教，為學生提供更好的學習條件和基礎。

　2、課程內容的改革

　根據《標準》大綱的修訂，微積分教學首先是對課程內容和教學大綱的精簡、增加、刪改。修訂后的教學內容比原來的教學大綱更精練，更科學。比如，原來12學時的?極限?在修訂大綱中被大面積的刪減。并在修訂大綱中，引入導數這一很有判斷意義的概念，因為導數是微積分初步了解的第一個概念，對導數概念的理解起到基礎性的作用。而且，修訂的課本內容中，對導數的講解時直觀形象的，應用性很強，又有許多實例來幫助學生加深理解。因此，微積分教學的新課改減輕了學生的學習負擔，降低了概念的理解難度。

　3、課程設計的改革

　原來的課程是從極限、連續、導數、導數應用，再到不定積分、定積分這樣的次序設計的，并在?導數和微分?的前面一章給?極限?設計了許多定義，以及對?極限?的求法和運算做了講解。修訂后的大綱對課程設計做了調整，尤其是微積分講解的路線，發生了變化，從瞬間速度，變化率，導數、導數應用再到定積分。對人文社科方面的高校微積分課程的設置，則多數是作為選修課來處理的，并與生活十分貼近，應用性很強，使非數學專業也對數學有一定的基礎了解和學習興趣。

　4、教學方法的革新

　(1)數學思想方法的滲透與運用。數學思想方法是多種多樣的，在生活中也取得有效地運用。微積分耶是高等數學的一個方面，因此，在微積分教學中引入數學思想方法是科學的。其中，數學分析，也叫微積分，是17世紀出現的十分重要的數學思想，不僅在17世紀有非常重要的地位，即使是在今天，這種思想方法在成功解決無限過程的運算方面，即極限運算有很大的幫助。數學思想的運用已成為各國比較重視一項革新項目。

　(3)加強實例分析和應用性。數學是一種邏輯推理。但也是來源于生活的，也最終給應用于生活，因此，數學的教學不能和現實相脫離。修訂后的微積分教學大綱明顯注重了實際應用性。即使是書上一個很簡單的概念，也時刻穿插一些實用性的，在習題的練習中，也是緊密結合生活實際，不是空中樓閣。比如說，用指數函數來看銀行存款和人口問題，還有對數函數中涉及放射性、分貝、地震級的問題。微積分數學應用于生活中實際問題的解決。

　5、教學工具的革新。

　現代教育技術，尤其是多媒體技術在微積分教學中的應用，對很好的實現教學理念，完善教學思想和教學方法很有意義，例如，作為重點和難點的?極限?概念和理論一直是教學中難以攻克的，因為它的抽象，所以老師再怎么講解也難免有學生不理解，而多媒體教學的應用解決了這一難題，教師可用直觀形象的動畫來表現比如?無限逼近?的理論，給學生一個直觀、感性的認知，還可運用多媒體設計可變參數的動畫，讓學生積極參與，自己動手設計，加深理解。又如導數概念的理解需要借助曲線來表現其某個點在某個時刻的瞬時速度，可以充分利用多媒體技術，畫具有藝術性的示意圖，設計動畫，讓學生在動畫中領悟微積分的實質和導數的概念。值得注意的是，在運用多媒體技術時，要遵循學科本身的規律，反復滲透，循序漸進，結合教材，積極引導。

　四、小結

數學教學論文范文精選

標題：數學文化融入小學數學教學的實踐研究

摘要：

隨著教育改革的深入，數學文化在教學中的重要性日益凸顯。本文旨在探討數學文化如何有效融入小學數學教學中，以提升學生的數學素養、學習興趣及文化認同感。通過教學實踐，本文分析了數學文化融入的必要性、實施策略及成效，為小學數學教學提供了有益的參考。

一、引言

數學作為一種文化現象，不僅承載著知識的傳承，還蘊含著豐富的思維方式和美學價值。在小學數學教學中融入數學文化，不僅能夠豐富教學內容，還能激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維和創新能力。

二、數學文化融入小學數學教學的必要性

增強學生學習興趣：數學文化中的歷史故事、趣味問題等能夠吸引學生的注意力，使數學學習更加生動有趣。

培養數學素養：通過了解數學的發展史、數學家的故事等，學生能夠更好地理解數學的本質，形成正確的數學觀。

促進文化傳承：數學文化是人類文明的重要組成部分，融入教學有助于傳承和弘揚優秀文化。

三、實施策略

挖掘教材資源：深入研讀小學數學教材，挖掘其中蘊含的數學文化元素，如數學史、數學故事等。

創設文化情境：利用多媒體教學工具，創設富有數學文化氣息的教學情境，如通過動畫、視頻等形式展示數學家的故事。

開展實踐活動：組織數學文化節、數學游戲、數學競賽等活動，讓學生在參與中感受數學的魅力。

家校合作：引導家長關注數學文化，與孩子一起閱讀數學書籍、觀看數學紀錄片等，共同營造良好的數學學習氛圍。

四、實踐成效

學生學習興趣顯著提高：通過融入數學文化，學生對數學的興趣明顯增強，課堂參與度提高。

數學素養得到提升：學生不僅掌握了數學知識，還形成了良好的數學思維方式和數學觀念。

文化傳承效果顯著：學生對數學文化的了解更加深入，對中華優秀傳統文化的認同感增強。

五、結論與展望

數學文化融入小學數學教學是一種有效的教學策略，能夠顯著提升學生的學習興趣和數學素養。未來，我們應繼續探索更多元化的數學文化融入方式，如利用虛擬現實技術、人工智能等現代科技手段，為小學數學教學注入新的活力。同時，加強家校合作，共同營造濃厚的數學學習氛圍，為學生的全面發展奠定堅實基礎。

參考文獻：

（此處應列出相關書籍、期刊文章、網絡資源等參考文獻，由于篇幅限制，具體文獻信息未列出。）

以上范文僅供參考，實際撰寫時應根據具體研究內容、數據分析和個人見解進行調整和完善。

大學數學論文范文

　大學數學是大學生必修的課程之一,如何提升大學生數學學習興趣,培養數學型人才,是每一個大學數學教師都需要思考的。下面是我為大家整理的大學數學論文，供大家參考。

　大學數學論文范文一：大學數學網絡教育論文

　一、教師要轉變觀念

　意識是行動的主宰者。首先，教師要充分認識到網絡教學資源對大學數學教學所產生的深刻影響。在網絡信息快速發展的當今時代，如果仍舊拘泥于傳統教學方式，勢必將會處于落伍的境地。不僅影響教學效率，往深層次講，還會影響學生畢業走向社會的適應能力以及生存能力。因此，教師要積極主動投身于教學改革的先行者行列中，構建現代化網絡教學平臺、加強網絡教學資源的建設。

　二、進行有效引導

　在現代網絡信息資源的基礎上，學生能夠變傳統被動接受知識為主動探索知識。因此，教師要進行適當引導，指導學生掌握有效運用現代網絡資源的方法，不斷發揮學生的主觀能動性，培養學生的自主學習與探索能力，進而實現學生主動探索、教師指導的理想教學模式。課前預習、課中學習、課后鞏固等這些環節，教師均可以讓學生先自主學習，而后再進行有效指導。

　三、有效整合教學資源

　現代網絡為我們帶來豐富多彩的教學資源的同時，也帶來了一些垃圾信息。因此，在大學數學教學中，教師要具備有效甄選、整合教學資源的能力。要根據課程內容，選擇適合課時內容的資源融入到教學中。在選擇網絡資源時要遵循趣味性原則、實用性原則以及內容相符原則。運用網絡教學資源進行大學數學教學是提高大學數學教學質量與教學效率的有效途徑與方法，也是教育教學發展的必然趨勢。教師應當轉變傳統的教學觀念，充分重視網絡信息資源，以教材為中心，有效整合網絡資源，并運用于教學中，提高學生的學習興趣，不斷培養學生的自主學習能力。

　大學數學論文范文二：大學數學教學中網絡教育資源研究

　一、如何利用網絡教育資源提高大學數學教育質量

　(一)加強教師對網絡教育資源的認知

　以前的大學數學教學方式單一，與學生的交流也少之又少，但是隨著網絡資源的發展，這一切將會有很大的變化，這也是適應社會的發展，提高數學教學質量的一種必然趨勢。學校也應加大網絡資源建設，順應社會發展的潮流，不要封閉在傳統的教育理念之中。大學教師也應適應社會的發展，不斷的學習，擺脫落伍的危機。

　(二)教師要把網絡教育資源的內容融入到教學之中

　教師應該適應網絡的發展，把網絡教育資源融入到現代教學之中，但是不要盲目的引進，首先就要考慮引進內容的適用性，所引進的內容要與所學的內容有相關性，能起到補充，擴充的作用，這樣能夠開拓學生們的視野。其次引進的內容還要具有適用性，能夠讓學生們把所學的內容融入到生活，融入到社會，達到學生們能認識數學，應用數學，培養他們的能力。最后還要具有一定的趣味性，這樣才能令學生更能接受所學內容，更愿意去學習數學，應用數學。所以教師合理的引進網絡教育資源使十分重要的。

　(三)教師要引導學生們自主利用網絡教育資源

　教師不但要學習引進網絡教育資源，還要充分的引導學生利用網絡資源，培養他們自主學習數學，愛好數學的良好作風。以前的數學教育中，以老師講解為主，學生被動的接受知識，學習過后學生們無法應用，這是一個很大的失敗，而現在的網絡發展情況下，老師可以引導學生們更好的利用網絡資源，引導學生們自主學習，可以布置學生做課前預習，到網絡上尋求資料，還可以讓學生們課后鞏固學習內容，網上尋求交流，以便達到鞏固知識的作用。

　(四)增強學生自主學習能力和興趣

　現在大學數學教育盡管很重視學生的學習，教師又會安排課余時間組織學生們給他們進行答疑解惑，但是受到時間性和地域性的限制，效果往往是不太理想，現在網絡資源的豐富，不再受時間和地域的限制，網絡技術可以讓學生和老師間進行多樣化的交流和輔導，也可以讓學生們通過一些論壇，郵箱，視頻等等不斷的學習鞏固自己的知識。學習不再有時間地域的限制，學生們的積極性會大大提高，興趣也會越來越高，提高數學成績不再是難事。

　二、結束語

　大學數學教育充分有效的利用網絡課程資源是提高大學數學教育質量的有效辦法，教師應該打破傳統教學的局限性，以課材為中心，充分利用網絡資源融入到現在教學之中，補充課本上的不足，增強教育之中的趣味性，這樣會開拓學生們的視野，培養學生們的興趣愛好，讓他們更加具備學習數學的激情，更加具備自主學習的能力。只有這樣學生們才會更加有發展，大學數學的教育才會更加成功。

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康托爾的集合論相關論文范文

康托爾是德國一名偉大的數學家，康托爾創立了集合論。下面是我帶來的關于康托爾的集合論論文的內容，歡迎閱讀參考!

康托爾的集合論論文篇1：《基于集合論思想的人性》

　摘要：作為人類，我們有必要去了解自己，這樣才能更加地進步。人性是從根本上決定并解釋著人類行為的那些人類天性。本文利用集合論的思想對此進行了一些討論。

　關鍵詞：人性;理性;社會性;自然性;集合論思想

　一、引言

　在長期以來的生活中，人類的大腦會在無意識的作用下儲存某些事物的信息，由于并沒有通過大腦嚴謹的思考，所以這些信息大部分是外在的，只是事物表面的一些形態特征而已。這些信息并非零散的分布，之間沒有聯系。而是之間存在著一定的關聯，雖然結構不嚴謹，可能其中會有錯誤。但是有時候卻可以起到一定的作用。但是我們不能僅依靠這樣的意識形態，因為我們有自我意識，需要不斷完善，不斷進步。依靠這樣的意識是不可能看到事物的本質的。

　有時候你問某個人為什么，他可能會答道：?憑直覺?。我并不否認直覺所帶來的?便利?，但這種?便利?是給自己不去思考事物本質的借口。直覺也是一種意識形態，但是這種意識是在潛意識之下的，這樣意識的形成也是要通過長時間的作用。大腦可以自己不斷地調整，不斷地完善，但是這個過程相當緩慢。要進步可不能依靠這樣的思想。

　現在我想說的是，我們必須減少對這些意識的依賴。因為這些意識都不是通過嚴謹的思考之后得到的產物，所以用這樣的意識去做出一些反應是很容易出錯的。這也會阻礙我們對真實世界的探索。我們應該挖掘出這樣的意識，分析其中的思想結構，將不好的思想去掉，并且把有缺陷的思想不斷加強和完善。這樣一來，我們就會更加理性。人就具有這樣的性質?理性。因此人類才能進步，文明才能發展。

　二、理論分析

　假設A={a1，a2，?，an}，B={b1，b2，?，bm}。若A?奐B，則說明A中的n個元素均可以在B中找到，且m>n。反之，說明中的個元素均可以在A中找到，且n>m。若A=B，則說明中的所有元素與B中的所有元素相同，且n=m。如果某一個元素可以在集合A中找到，那么記作a?A。

　結合以上思想，對人與動物進行分析，動物={青蛙，魚，狗，貓，人，?}，可以看出人是屬于動物的，即人動物。并且將這樣的集合叫做普通集合，以區分下面所敘述的性質集合。既然青蛙，魚，狗，貓，人等都屬于動物，那么也就是說它們具有共同的性質，比如：沒有細胞壁，必須利用現成的有機物獲得能量，無葉綠體，能自由移動等。但是人除了這些共同性質之外，還有其他的性質。也就是說，從性質集合上看，動物的性質集合包含于人的性質集合中的。即動物的所有性質，人類均有。我們將性質集合中的元素命名為?屬差?，而將普通集合命名為?種?，普通集合中的元素命名為?屬?。

　如果B的性質集合包含于A的性質集合，那么A和B就具有相同的屬差，并且B的所有屬差均是A中的屬差。屬差越多，則性質集合的表述范圍就越小，即越受限制。那么B顯然比A的表述范圍大。說明B可以述說A，即A是B，其中A就是主詞，而B就是賓詞，則B的所有屬差是A的屬差。

　那么按照上面所說，動物可以表述人，即人是動物。?人?的屬差比?動物?的要多，也就是限制的條件要多一些。

　有些存在于主體中的事物，其定義是不能用來表述一個主體的。例如：對于白人來說，?白?就依存于身體這個主體，并被用來表述身體這個主體，也就是說身體可以被說成是白的，但是要注意，?白?的定義卻不能被用來表述身體。

　屬和種的屬差都可適用于第一實體，種的屬差適用于屬，所以屬和種決定了實體的性質。例如：?人?和?動物?的屬差都可適用于個別的人，可以說人是動物，個別的人是人，個別的人是動物。也可以這樣想：對?動物?的定義肯定也適用于對?人?的定義，因為?人?是屬于?動物?的。所謂的?第一實體?，比如?個別的人?、?個別的老虎?等，是真實存在的個體，并不依存于其他個體。[1]

　屬差的定義也能適用于屬和個體，并且還可以用來表述屬和個體。例如：?有腳的?、?有手的?的定義也可以適用于?人?和個別的人。并且還可以說?人?和個別的人是?有手的?。既然屬差的定義可以適用于個體，那么屬差也就可以決定了個體的性質。而且這些性質都可以用屬差表述其個體。

　分析到這里，我們應該感覺到有點思路了。也就是我們現在要找到這樣的屬差，然后根據這些屬差的定義來表述個體。

　但是還有一個前提，那就是個別的人是不是實體呢?因為剛才我們得到一個結論：屬和種決定了實體的性質。也就是這些分析都是以實體作為前提的。所以我們要知道個別的人是不是實體。其實我們從實體最原始，最根本的定義出發，個別的人的確屬于實體，因為是真實存在的，并且不依存于其他主體。

　三、結果分析

　1.人具有理性：有一篇關于魚?自殺?的報道。我就在想魚如何?自殺?的呢?自殺就說明魚有自我意識，能夠自己選擇死亡。但科學上表明自然界(這里并不指整個宇宙)中除人類外，其他動物都只有直接意識，而沒有自我意識。難道科學不客觀?其實并非這樣，只不過是媒體的故意渲染而已。魚只是因為環境的改變而做出本能的反應，這樣的本能就是直接意識，魚并沒有思考這樣做會不會導致死亡，只是出于本能。那么人與其他動物相比，不同之處就在于人有理性。

　比如一只老虎餓了，看到食物就會撲上去吃。但是人餓了卻不會看到食物就撲上去，而要想想這能不能吃。這就是與其他動物的不同之處。也就是說?理性?是?人?的一個屬差。

　2.人具有社會性：人處在社會之中，與其他個體之間進行溝通，交流信息。進行物質的分享、分割和交換。社會是互動的，不可能是個別的個體所支撐。也就說明我們身處社會，只有聚集起來才能共同完成分享、分割和交換。有人說自己很孤獨，其實這并不是真正的孤獨，也不可能存在真正的孤獨。因為人不可能擺脫社會性而存在。可能有人會對剛才我說的?不會有真正的孤獨?有意見，他們會說：?既然沒有孤獨，那么創造這個詞不就沒意義嗎?孤獨只不過是人們的感受，感受并不能反應事物的真實規律。所以我在之前也說過，我們必須放棄一些錯誤的思想。這樣才不會被感覺和表面現象所蒙蔽。

　在人類社會這個龐大的群體性活動中，無論是什么簡單的活動，都不可避免要與其他個體進行信息傳達。這樣人類才能發展和繁衍下去。這樣說來，動物也應當存在社會性。這顯然是肯定的。一些動物也是具有這樣的性質的，例如：螞蟻，蜜蜂等。可見?社會性?也是?人?的一個屬差。

　3.人具有自然性：人類是自然界中的一員，就不可能不具有自然性。人類的組織結構、生理結構和自然界交往過程所產生的一些基本特征都表現出人的自然性。人類不可能脫離自然性而獨立存在。而其他生物也一樣具有這樣的性質。所以?自然性?也是?人?的一個屬差。

　四、結束語

　我們作為人類，有必要去了解自己，這樣才能更加地進步。通過集合論的思想來分析人性，是本文的亮點。除了三個性質外，還存在著其他的性質。在這里由于自己的智慧有限，沒有給出更多的性質，但是本文重點是在于提供一個可行的分析方法。通過數學的邏輯，會使得分析變得更加嚴謹和系統化。這是本文做出的大膽嘗試。

　參考文獻：

　[1]亞里士多德.亞里士多德全集(第一卷)[M].苗力田，譯.北京：中國人民大學出版社，1990.

康托爾的集合論論文篇2：《集合論與第三次數學危機》

　數學的產生和發展，始終與人類社會的生產和生活有著密不可分的聯系。在新教材中，任何一個新概念的引入，都特別強調它的現實背景、數學理論發展背景或數學發展的歷史背景，只有這樣才能讓學生感到知識發展水到渠成。所以特別希望在教學中能不時滲透數學史的相關知識，充分發揮和利用數學史的教育價值，使學生通過了解數學史，而更加全面更加深刻地理解數學、感悟數學。

　一、集合論的誕生

　一般認為，集合論誕生于1873年底。1873年11月29日，康托爾(G.Gsntor，1845-1918)在給戴德金(Julius　Wilhelm　Richard　Dedekind，1831?1916)的信中提問?正整數集合與實數集合之間能否一一對應起來?這是一個導致集合論產生的大問題。幾天后，康托爾用反證法證明了此問題的否定性結果，?實數是不可數集?，并將這一結果以標題為《關于全體實代數數集合的一個性質》的論文發表在德國《克萊爾數學雜志》上，這是?關于無窮集合論的第一篇革命性論文?，在其系列論文中，他首次定義了集合、無窮集合、導集、序數、集合運算等，康托爾的這篇文章標志著集合論的誕生。

　二、集合論成為現代數學大廈的基礎

　康托爾的集合論是數學史上最具革命性和創造性的理論，他處理了數學上最棘手的對象?無窮集合，讓無數因?無窮?而困擾許久的數學家們在這種神奇的數學世界找回了自己的精神家園。它的概念和方法滲透到了代數、拓撲和分析等許多數學分支，甚至滲透到物理學等其他自然學科，為這些學科提供了奠基的方法。幾乎可以說，沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。

　集合論誕生的前后20年里，經歷千辛萬苦，但最終獲得了世界的承認，到了20世紀初，集合論已經得到數學家們的普遍贊同，大家一致認為，一切數學成果都可以建立在集合論的基礎之上了，簡言之，借助集合論的概念，便可以建立起整個數學大廈，就連集合論誕生之初強烈反對的著名數學家龐加萊(Jules　Henri　Poincar?，1854-1912)也興高采烈地在1900年的第二次國際數學家大會上宣布：?借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了。?然而，好景不長，一個震驚數學界的消息傳出，集合論是有漏洞的!如果是這樣，則意味著數學大廈的基礎出現了漏洞，對數學界來說，這將是多么可怕啊!

　三、羅素(Bertrand　Russell，1872-1970)悖論導致第三次數學危機

　1903年，英國數學家羅素在《數學原理》一書上給出一個悖論，很清楚地表現出集合論的矛盾，從而動搖了整個數學的基礎，導致了數學危機的產生，史稱?第三次數學危機?。

　羅素構造了一個所有不屬于自身(即不包含自身作為元素)的集合R，現在問R是否屬于R?如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不屬于自身，即R不屬于R。另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應屬于自身，即R屬于R，這樣，不論任何情況都存在矛盾，這就是有名的羅素悖論(也稱理發師悖論)。

　羅素悖論不僅動搖了整個數學大廈的基礎，也波及到了邏輯領域，德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關于集合的基礎理論完稿而即將付印時，收到了羅素關于這一悖論的信，他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟，他只能在自己著作的末尾寫道：?一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發現所干的工作的基礎崩潰了。?這樣，羅素悖論就影響到了一向被認為極為嚴謹的兩門學科?數學和邏輯學。

　四、消除悖論，化解危機

　羅素悖論的存在，明確地表示集合論的某些地方是有毛病的，由于20世紀的數學是建立在集合論上的，因此，許多數學家開始致力于消除矛盾，化解危機。數學家紛紛提出自己的解決方案，希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

　在20世紀初，大概有兩種方法。一種是1908年由數學家策梅洛(Zermelo，Ernst　Friedrich　Ferdinand，1871～1953)提出的公理化集合論，把原來直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎上，對集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，從而避免悖論的出現，這就是集合論發展的第二階段：公理化集合。

　解鈴還須系鈴人，在此之前，危機的制造者羅素在他的著作中提出了層次的理論以解決這個矛盾，又稱分支類型化。不過這個層次理論十分復雜，而策梅洛則把這個方法加以簡化，提出了?決定性公理(外延公理)、初等集合公理、分離公理組、冪集合公理、并集合公理、選擇公理和無窮公理?，通過引進這七條公理限制排除了一些不適當的集合，從而消除了羅素悖論產生的條件。后來，策梅洛的公理系統又經其他人，特別是弗蘭克爾(A.A.Fraenkel)和斯科倫(T.Skolem)的修正和補充，成為現代標準的?策梅洛?弗蘭克爾公理系統(簡稱ZF系統)?，這樣，數學又回到嚴謹和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支?《基礎數學》迅速發展。

　五、危機的啟示

　從康托爾集合論的提出至今，時間已經過去了一百多年，數學又發生了巨大的變化，而這一切都與康托爾的開拓性工作密不可分，也和數學家們的艱辛努力密不可分。從危機的產生到解決，我們可以看到，數學的發展跟提出問題和面對困難是離不開的，期間要經歷無數的挫折和失敗，但是只要堅持，終會走向成功。

　矛盾的消除，危機的化解，往往給數學帶來新的內容，新的變化，甚至革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史性動力的基本原理。正如數學家克萊因(FelixChristianKlein1849-1925)在《數學?確定性喪失》中說：?與未來的數學相關的不確定性和可疑，將取代過去的確定性和自滿，雖然這次悖論已經找到解釋，危機也已化解，但是更多的還是未知，因為只要仔細分析，矛盾又將會被認識更為深刻的研究者發現，這種發現不應該被認為是?危機?，而應該感到，下一個突破的機會來到了。?

　參考文獻：

　1.《普通高中課程標準實驗教科書?數學必修1》教師教學用，人民教育出版社

　2.胡作玄，《第三次數學危機》

康托爾的集合論論文篇3：《模糊集合論視角下的隱喻》

　摘要本文從模糊集合論的角度出發，研究隱喻解讀過程中的邏輯真值問題，揭示出隱喻的模糊性是固有的，客觀的，對人類認識世界以及進行文學創作具有重要作用。

　關鍵詞模糊集合論;隱喻;文學創作

　模糊性是自然語言的本質特征之一，客觀事物自身范疇的模糊性、人類認知的局限性以及不同的話語語境均會導致模糊語言的形成。模糊集合論從誕生伊始，便開始了與諸多學科的交叉研究，與語言學的結合使得我們在語義研究方面有了新的視角。隱喻作為一種特殊的語義現象，其解讀過程顯現出模糊語言的特點。隱喻的模糊性反映出人類的潛邏輯規律，是客觀的，隱性的，它不僅是人類心理范疇化的結果，也是人類模糊思維的產物，所以模糊集合論為我們研究解析隱喻開辟了新的窗口[1]。

　1965年，美國控制論專家札德受語言模糊性的啟發在《信息與控制》雜志上發表了論文《模糊集合》，最早提出了?模糊集合論?的概念。傳統的集合論強調，任何一個集合的成員要么屬于它(隸屬度為1)，要么不屬于它(隸屬度為0)，只有兩種真值情況[2]。但是如果對自然界中的諸多對象進行分類，我們經常會找不到能夠精確判定其身份的依據。所以，札德在論文《模糊集合》中對模糊集的定義為：設X是由點構成的一個區間，區間內的類屬性元素用x表示，即X ={x}。在區間X中，模糊集A由具有構成該集合元素屬性的隸屬函數fA(x)表示。該函數與區間[ 0， 1 ]內的任一實數相關聯，此對應值表示x所具有的構成A的資格程度。如果區間內設置兩個臨界點，即0 <? <? < 1，那么我們就會獲得一種三值邏輯：如果fA(x) ?，則x屬于A;如果fA(x) ?，則x不屬于A; 如果隸屬函數fA(x) 所表示的值位于?和?之間，則x具有一種相對于A的中間狀態。模糊集合論之所以適用于語言研究，是因為語言范疇實際上就是某一個論域中的模糊集合。某一范疇中所有成員共有的典型屬性構成此范疇的核心部分，它相當于集合的定義，這部分是明確的，清晰的;相比較而言，范疇的邊緣卻是模糊的，很難對其進行明確地界定，此部分相當于集合的外延，也就是構成該集合的所有元素。傳統集合論實際上是二值邏輯，一個命題，即一個表達明確意義的陳述句，其真值只能是真(記作?1?)，或者是假(記作?0?)，沒有第三種可能性。例如?湯姆是名學生?這個命題，只允許取值?1?或?0?。但是，如果我們將這個句子中的?學生?加個修飾詞，變成?好學生?，問題就出現了。因為?好?是個模糊概念，其內涵容易辨認，外延卻不明確。對于這樣的命題，如果用傳統的集合論就很難判斷其真值。基于二值邏輯的缺陷，札德提出了?隸屬度?的概念。即對于像?好?、?壞?這樣的模糊概念的集合，規定其成員對該集合的隸屬程度，可以取閉區間[0，1]內的任何實數值。模糊邏輯本質上是一種多值邏輯，這使得模糊集合論在研究隱喻時具有特別重要的價值。

　模糊集合論為隱喻真值的合法性提供了依據。隱喻的理解有賴于對兩組不同范疇的特征的識別，如果我們要把?A is B?視為隱喻，而非字面意思，那我們就需要確定A和B的所指。句法，語義以及語境都可以幫助我們確定其含義，但是最終還是意義的解讀決定對相似屬性和不同屬性篩選的結果 [3]。要想理解隱喻所指雙方語義屬性的比較過程，我們可以求助于模糊集合論的概念。通過模糊不同集合的界限，隱喻所指某一集合的屬性可以部分的與其他集合的屬性相結合，進而克服精確定義所帶來的阻礙。從語言的表層結構來看，隱喻的本體集合與喻體集合是不相容的。如果我們運用模糊邏輯的開放性原理，就可以對這兩個不同集合中的屬性進行對比區分，找到相互類似的屬性以及不具有可比性的屬性。

　以莎士比亞名句?Juliet is the sun.?(朱麗葉是太陽)為例： ?太陽?是無生命語義標記的子集， ?朱麗葉?是有生命語義標記的子集。由于這個隱喻指出了太陽對于人類的重要性與朱麗葉對于羅密歐的重要性之間的相似性，相關元素屬性的隸屬函數是一個小于1的值，使得此隱喻帶有較強的啟示力和暗示性。一般來講，根據邏輯真值，可以把隱喻分為epiphor(表征性隱喻)與diaphor(暗示性隱喻)。威爾賴特( P. Wheelwright)在1962年出版的《隱喻和現實》(Metaphor and reality)中指出epiphor 的基本功能在于表達(express)，而diaphor的主要作用是暗示(suggest) [4]。隱喻所指的并置會引起語義集合的矛盾，所以有些學者把隱喻視為不合語法邏輯的實體。但是如果我們通過模糊集合論中三值邏輯來解讀隱喻，我們就可以證明它的用法是正當的，合法的。根據扎德的標準， 0 <? <? < 1，一種三值邏輯的可能性是成立的。如果我們再加入一個中間值?，區間將變為0 <? <?<? < 1，這樣三值邏輯就可以擴充為四值邏輯，其真值分別為： Truth( fA (x) ?) 、Falsity( fA (x) ?) 、Diaphor (? < fA (x) <?) 以及Epiphor (?fA (x) <?) 。如果?的值趨近于1而?的值趨近于0，并且中間區間的集合不包含任何其它元素，那么這就是一個傳統的二值邏輯。如果隸屬函數值介于?到?的區間，就會產生暗示性隱喻;如果隸屬函數值介于?到?的區間，就會產生表征性隱喻。隸屬函數會發生變化，因為很多隱喻由于不斷的重復使用，固定了所指之間的關系，暗示性隱喻也就會變成表征性隱喻，如果太過普遍，則會變成死隱喻。由此可見，模糊集合論很好的解釋了隱喻解讀過程中本體集合與喻體集合的沖突，使得雙方在合理的范圍內找到交集，而這個交集內的元素屬性很可能不是唯一的，這就造成了隱喻解讀的多樣性與模糊性[5]。

　隱喻的本質是模糊了本體集合和喻體集合之間的界限，從而來尋找兩個集合的契合點。由于模糊集合論設定了三個區間邊界?、?和?，并且0 <? <? <? < 1，這種四值邏輯不僅有助于消除隱喻所指不同集合之間所存在的矛盾，而且揭示出隱喻的模糊性實際是固有的，客觀存在的。隱喻的模糊性主要是指其解讀對語境的依賴性。無論從隱喻的編碼，還是解碼過程來看，不同的人，不同的時期，不同的場合，同一隱喻可以被賦予不同的含義。正是隱喻的這種模糊性開啟了人類的想象空間，文學作品中好的隱喻總是余音繞梁，讓人回味無窮。我們的生活離不開隱喻，而在隱喻所創造的模糊世界里，我們非但沒有因為模糊而影響生活，反而借用隱喻的模糊性我們能夠更好地認識世界，改造世界。

　參考文獻

　[1]Earl R. MacCORMAC， METAPHORS AND FUZZY SET[J].Fuzzy sets and systems. 1982(7).

　[2]L.A.Zadeh.Fuzzy Set. Information and Control.1965(8).

　[3]安軍.隱喻的邏輯特征[J].哲學研究，2007(2).

　[4]蘇聯波.隱喻的模糊化認知機制研究[J].成都大學學報(社科版)，2011(5).

　[5]束定芳.論隱喻的基本類型及句法和語義特征[J].外國語，2000(1).